Dreisatz-Rechner
Direkt: B2 = A2 × (B1/A1). Indirekt: B2 = (A1×B1)/A2.
Dreisatz – Grundlagen
Der Dreisatz ist eine elementare mathematische Technik zur Lösung von Verhältnis-Aufgaben. Es gibt zwei Hauptarten:
Direkt proportional
Bei direkter Proportionalität: Wenn Größe A wächst, wächst Größe B im gleichen Verhältnis.
Beispiele:
- Preis pro Stück (5 Äpfel kosten 3,50 € → 12 Äpfel kosten 8,40 €)
- Lohn pro Stunde (8h = 120 € → 6h = 90 €)
- Zinsen bei festem Zinssatz (1.000 € → 30 € Zinsen, 5.000 € → 150 €)
Indirekt (umgekehrt) proportional
Bei indirekter Proportionalität: Wenn Größe A wächst, fällt Größe B im umgekehrten Verhältnis.
Beispiele:
- Arbeiter und Zeit (6 Arbeiter brauchen 4 Tage → 8 Arbeiter brauchen 3 Tage)
- Geschwindigkeit und Fahrtzeit (60 km/h → 3h, 90 km/h → 2h)
- Anzahl Maschinen und Produktionszeit
Berechnung mit Dreisatz
Direkt proportional
Schema: A1 entspricht B1 → A2 entspricht ?
Lösung: B2 = A2 × (B1 / A1)
Beispiel: 3 Äpfel kosten 5,00 €. Was kosten 7 Äpfel?
B2 = 7 × (5 / 3) = 7 × 1,6667 = 11,67 €
Indirekt proportional
Schema: A1 entspricht B1 → A2 entspricht ?
Lösung: B2 = (A1 × B1) / A2
Beispiel: 4 Arbeiter brauchen 6 Stunden. Wie lange brauchen 8 Arbeiter?
B2 = (4 × 6) / 8 = 24 / 8 = 3 Stunden
Wann welcher Typ?
Frage: Wenn A wächst, wird B größer (direkt) oder kleiner (indirekt)? Anhaltspunkte:
- Direkt: "pro", "je", "kosten", "verdienen", "Volumen"
- Indirekt: "Arbeiter brauchen", "Maschinen produzieren", "Vorrat reicht"
Anwendung im Alltag
Prozentrechnung
Prozentaufgaben sind direkter Dreisatz mit Bezug zu 100:
Beispiel: 30 % von 250 € = ? → 100 % entsprechen 250 €, 30 % entsprechen 30 × (250/100) = 75 €
Mehrwertsteuer
Brutto auf Netto umrechnen:
Beispiel: 119 € Brutto (mit 19 % USt) → Netto = 119 / 1,19 = 100 €. USt = 19 €.
Skonto
Rechnungssumme minus Skonto:
Beispiel: 1.000 € Rechnung mit 2 % Skonto = 1.000 × 0,98 = 980 € Zahlbetrag.
Rabatt
Beispiel: 250 € Originalpreis, 30 % Rabatt → 250 × 0,7 = 175 € Verkaufspreis.
Geschwindigkeit-Zeit-Strecke
Indirekter Dreisatz bei konstanter Strecke:
Beispiel: Strecke 300 km. Bei 60 km/h: 5h. Bei 100 km/h: B2 = (60 × 5) / 100 = 3h.
Aufgaben mit mehrstufigem Dreisatz
Manchmal muss man mehrere Größen nacheinander berücksichtigen. Beispiel:
"6 Bäcker backen in 4 Stunden 480 Brote. Wie viele Brote backen 9 Bäcker in 6 Stunden?"
Schritt 1: Pro Bäcker
6 Bäcker → 480 Brote in 4h
1 Bäcker → 80 Brote in 4h (geteilt durch 6)
1 Bäcker → 20 Brote pro Stunde
Schritt 2: Hochrechnen
9 Bäcker × 6h × 20 Brote = 1.080 Brote
Direkt im Dreisatz
Brote = Bäcker × Stunden × Brote_pro_Bäcker_pro_Stunde
= (9 × 6 / (6 × 4)) × 480
= (54 / 24) × 480 = 1.080 Brote
Beispielrechnungen
Häufige Fragen
Was ist direkt proportional?
Wenn Größe A wächst, wächst B im gleichen Verhältnis. Beispiele: Preis pro Stück, Lohn pro Stunde.
Was ist indirekt proportional?
Wenn A wächst, fällt B umgekehrt. Beispiele: Arbeiter und Zeit, Geschwindigkeit und Fahrtzeit.
Wie erkenne ich den Typ?
Frage: Wenn A doppelt – wird B auch doppelt (direkt) oder halb (indirekt)?
Wie löse ich Prozentrechnung?
Direkt: x% von W = (W × x) / 100. Beispiel: 25 % von 200 € = 50 €.
Was ist Mehrwertsteuer-Berechnung?
Brutto = Netto × 1,19 (19 % USt) oder 1,07 (7 % USt). Netto = Brutto / 1,19.
Mehrstufiger Dreisatz?
Wenn 3 oder mehr Größen, schrittweise lösen. Erst auf 1 Einheit reduzieren, dann hochrechnen.
Wo wird Dreisatz im Alltag genutzt?
Preisvergleich, Rezepte umrechnen, Geschwindigkeit-Zeit, Zinsrechnung, Maßstab.
Schule – welche Klassen?
Klasse 5-7 (Grundlagen), Klasse 8-9 (Prozent-/Zinsrechnung). Abitur: Funktionsverständnis.
Quellen
Autor
Autor: Mustafa Bilgic, Adıyaman, Türkei. Stand . NICHT als Steuerberatung – verbindliche Auskünfte erteilt nur das Finanzamt oder ein Steuerberater nach § 3 StBerG.